Question

已知函數f（x）=2

3

sin（

π

4

x）在同一半周期內的圖象過點O，P，Q，其中O為坐標原點，P為函數圖象的最高點，Q為函數f（x）的圖象與x軸的正半軸的交點．
（1）試判斷△OPQ的形狀，并說明理由．
（2）若將△OPQ繞原點O按逆時針方向旋轉角a（0＜a＜

π

2

）時，頂點P，Q，恰好同時落在曲線y=

k

x

（x＞0）上（如圖所示），求實數k的值．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象,三角函數中的恒等變換應用

專題：函數的性質及應用,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）先求函數f（x）的周期，從而可求|OQ|，由P為函數圖象的最高點，可得|OP|的值，又由Q坐標，可求|PQ|，從而可證△OPQ為等邊三角形．
（2）由|OP|=|OQ|=4，得點P′，Q′的坐標分別為（4cos（α+

π

3

），4sin（α+

π

3

）），（4cosα，4sinα），由

k=16cos(α+ π 3 )sin(α+ π 3 ) k=16sinαcosα

，可解得sin2α=

1

2

．從而可得所求實數k的值．

解答： 解：（1）△OPQ為等邊三角形．
理由如下：
∵函數f（x）=2

3

sin（

π

4

x），
∴T=

2π

π 4

=8，∴函數f（x）的半周期為4，
∴|OQ|=4，
∵P為函數圖象的最高點，
∴點P的坐標為（2，2

3

），∴|OP|=4
又∵Q坐標為（4，0），∴|PQ|=

(2-4)2+(2 3 -0)2

=4，
∴△OPQ為等邊三角形．
（2）由（1）知，|OP|=|OQ|=4，
∴點P′，Q′的坐標分別為（4cos（α+

π

3

），4sin（α+

π

3

）），（4cosα，4sinα），
∵點P′，Q′在函數y=

k

x

（x＞0）的圖象上，
∴

k=16cos(α+ π 3 )sin(α+ π 3 ) k=16sinαcosα

∴

k=8sin(2α+ 2π 3 ) k=8sin2α

消去k得，sin2α=sin（2α+

2π

3

），
∴sin2α=sin2αcos

2π

3

+cos2αsin

2π

3

∴

3

2

sin2α=

3

2

cos2α
∴tan2α=

3

3

∵0＜a＜

π

2

∴2α=

π

6

∴sin2α=

1

2

．
∴k=4．即所求實數k的值為4．

點評：本題主要考查正弦函數的圖象特征，反比例函數的性質，二倍角公式等基礎知識，考察運算能力，考察數形結合思想，化歸與轉化思想，函數與方程思想，屬于中檔題．