Question

將正弦函數(shù)f₁（x）=sinx與余弦函數(shù)f₂（x）=cosx線性組合成函數(shù)f（x）=Af₁（x）+Bf₂（x） （A，B是常數(shù)，x∈R），函數(shù)f（x）的圖象稱（A，B）曲線．
（1）若（A，B）曲線與（C，D）曲線重合，求證：A=C，B=D；
（2）已知點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與點(diǎn)P₂（x₂，y₂）且x₁-x₂≠kπ（k∈z），求證：經(jīng)過點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的（A，B）曲線有且僅有一條．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由題意可得Asinx+Bcosx=Csinx+Dcosx對(duì)任意x∈R都成立，不妨取x=

π

2

，和x=0代入可得答案；
（2）假設(shè)（A，B）曲線經(jīng)過P₁（x₁，y₁）與點(diǎn)P₂（x₂，y₂），則Asinx₁+Bcosx₁=y₁，①，Asinx₂+Bcosx₂=y₂，②，①×cosx₂-②×cosx₁變形可得A值，同理可得B值，可得A、B由P₁與點(diǎn)P₂的坐標(biāo)唯一確定，既得結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵Asinx+Bcosx=Csinx+Dcosx對(duì)任意x∈R都成立，
不妨取x=

π

2

，代入上式可得A=C，同理取x=0代入可得B=D，
∴A=C，B=D；
（2）假設(shè)（A，B）曲線經(jīng)過P₁（x₁，y₁）與點(diǎn)P₂（x₂，y₂），
則Asinx₁+Bcosx₁=y₁，①，Asinx₂+Bcosx₂=y₂，②，
①×cosx₂-②×cosx₁可得Asin（x₁-x₂）=y₁cosx₂-y₂cosx₁，
∵x₁-x₂≠kπ（k∈z），∴Asin（x₁-x₂）≠0，
∴A=

y1cosx2-y2cosx1

sin(x1-x2)

，同理可得B=

y2sinx1-y1sinx2

sin(x1-x2)

，
∴A、B由P₁與點(diǎn)P₂的坐標(biāo)唯一確定，即經(jīng)過點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的（A，B）曲線有且僅有一條

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用，屬中檔題．