Question

16．已知函數(shù)f（x）（sinx+cosx）²+2cos²x-2
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T；
（2）求f（x）的最大值，并指出取得最大值時x取值集合；
（3）當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可得f（x）的最大值，以及取得最大值時x取值集合；
（3）當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2
化簡可得：f（x）=1+2sinxcosx+1+cos2x-2=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：x=$kπ+\frac{π}{8}$．
∴當(dāng)x=$kπ+\frac{π}{8}$時，f（x）取得最大值為$\sqrt{2}$．
∴取得最大值時x取值集合為{x|x=$kπ+\frac{π}{8}$，k∈Z}．
（3）當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，
可得：2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{4}$]，
∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴$-\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤1．
故得當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，函數(shù)f（x）的值域為[$-\sqrt{2}$，1]．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．