Question

7．如圖，在三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA₁=4，A₁在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)E，D是B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：A₁D⊥A₁C；
（Ⅱ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接DE，AE，由題意得，A₁E⊥平面ABC，可得A₁E⊥AE，再由已知得到AE⊥BC，由線(xiàn)面垂直的判定可得AE⊥平面A₁BC，進(jìn)一步證得A₁D⊥平面A₁BC，得到A₁D⊥A₁C；
（Ⅱ）由A₁E⊥平面ABC，得A₁E⊥A₁D，分別求出DE，A₁D，A₁E的長(zhǎng)度，則三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積可求．

解答 （Ⅰ）證明：連接DE，AE，由題意得，A₁E⊥平面ABC，
∴A₁E⊥AE，
∵AB=AC，E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，
又BC∩A₁E=E，
∴AE⊥平面A₁BC，由D，E分別為B₁C₁，BC的中點(diǎn)，
∴A₁D∥AE，則A₁D⊥平面A₁BC，
∴A₁D⊥A₁C；
（Ⅱ）解：∵A₁E⊥平面ABC，
∴A₁E⊥A₁D，
又DE=AA₁=4，${A}_{1}D=2×sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，
∴${A}_{1}E=\sqrt{16-3}=\sqrt{13}$．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積$V={S}_{△ABC}•{A}_{1}E=\frac{1}{2}×{2}^{2}×sin\frac{π}{3}×\sqrt{13}=\sqrt{39}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法，是中檔題．