Question

【題目】已知橢圓兩焦點分別為是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足，過P作傾斜角互補的兩條直線分別交橢圓于兩點．

(1)求點坐標(biāo)；

(2)求證：直線的斜率為定值；

(3)求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）證明見解析；（3） .

【解析】

（1）設(shè)出的坐標(biāo)，則可分別表示出和，進(jìn)而利用求得和的關(guān)系,同時根據(jù)求得和即的坐標(biāo)；（2）設(shè)出的方程,與橢圓方程聯(lián)立根據(jù)，表示出和,同理表示出點的坐標(biāo),進(jìn)而求得的斜率，化簡即可得結(jié)果；（3）設(shè)出的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理表示出和,進(jìn)而求得,最后利用弦長公式求得的長，利用三角形面積公式表示出三角形面積，結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)論.

（1）由題可得，

設(shè)，

則，

，

點在曲線上，則，

從而，得，

則點的坐標(biāo)為.

（2）由題意知，兩直線的斜率必存在，設(shè)的斜率為，

則的直線方程為，

由得，

設(shè)，則，

同理可得，

則，

的斜率為定值.

（3）設(shè)的直線方程，

得，

由得，

到的距離為，

則

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

三角形面積的最大值為.