Question

已知函數(shù)，，對于任意的，都有.

（1）求的取值范圍

（2）若，證明：（）

（3）在（2）的條件下，證明：

 

Answer 1

（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)的表達式，再結(jié)合，得，解不等式，又，得到，又取任意正整數(shù)，所以；

（2）先用導數(shù)進行研究，可到函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，再利用數(shù)學歸納的方法，可以證明（）；

（3）由，解得，變形得，又，所以，，則在上遞增，再通過放縮得

，再依此為依據(jù)，進行累加即可得到原式是成立的.

試題解析：（1）由題得

恒成立

故：

（2）

當時，

有結(jié)論：函數(shù)在（1，）上是單調(diào)遞增函數(shù)。

下面用數(shù)學歸納法證明：

①當時，由得 成立。

②假設(shè)當時，結(jié)論成立。即：

那么當時

這表明當時不等式也成立，綜合①②可知：當，時成立

（3）且

令，則在上遞增

由（2）知：

又

左邊

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列與不等式的綜合.