Question

16．已知$\overrightarrow{OA}$=（2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)E滿足：|$\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BA}$|+|$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$|=6，求點(diǎn)E的軌跡C的方程．

Answer 1

分析 由已知向量的坐標(biāo)和向量等式求出$\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)，再由動點(diǎn)E滿足：|$\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BA}$|+|$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$|=6得到|$\overrightarrow{AE}$|+|$\overrightarrow{BE}$|=6，由此可知動點(diǎn)E的軌跡為橢圓，結(jié)合橢圓定義求得橢圓方程

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{OA}$=（-2$\sqrt{2}$，0），
又動點(diǎn)E滿足：|$\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BA}$|+|$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$|=6即|$\overrightarrow{AE}$|+|$\overrightarrow{BE}$|=6．
∴動點(diǎn)E的軌跡為以B，A為焦點(diǎn)，6為長軸的橢圓，
由2a=6，a=3，c=2$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=9-8=1．
∴動點(diǎn)E的軌跡方程C：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1．

點(diǎn)評 本題是直線與圓錐曲線的綜合題，考查了橢圓方程的求法，考查向量知識的運(yùn)用，屬于中檔題．