Question

20．設二次函數(shù)f（x）=ax²-2x+c（x∈R）的值域為[0，+∞），則$\frac{1}{c+1}$+$\frac{4}{a+4}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的值域得到a＞0，且判別式△=0，利用消元法進行轉化，結合基本不等式進行求解即可．

解答 解：∵二次函數(shù)f（x）=ax²-2x+c（x∈R）的值域為[0，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4ac=0}\end{array}\right.$，即a＞0，ac=1，則c=$\frac{1}{a}$，
則$\frac{1}{c+1}$+$\frac{4}{a+4}$=$\frac{1}{\frac{1}{a}+1}$+$\frac{4}{a+4}$=$\frac{a}{1+a}$+$\frac{4}{a+4}$
=$\frac{a（a+4）+4（1+a）}{（a+1）（a+4）}$=$\frac{{a}^{2}+4a+4+4a}{{a}^{2}+5a+4}$=$\frac{{a}^{2}+5a+4+3a}{{a}^{2}+5a+4}$
=1+$\frac{3a}{{a}^{2}+5a+4}$=1+$\frac{3}{a+\frac{4}{a}+5}$，
∵a＞0，∴a+$\frac{4}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{4}{a}}$=4，當且僅當a=$\frac{4}{a}$，即a=2時取等號，
∴當a+$\frac{4}{a}$取最小值4時，$\frac{1}{c+1}$+$\frac{4}{a+4}$=1+$\frac{3}{a+\frac{4}{a}+5}$
取得最大值為1+$\frac{3}{4+5}$=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
故選：B．

點評 本題主要考查是最值的求解，根據(jù)二次函數(shù)的性質得到ac=1．利用消元法結合基本不等式是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．