Question

9．傾斜角為θ的直線過離心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）右焦點F，直線與C交于A，B兩點，若$\overrightarrow{AF}$=7$\overrightarrow{FB}$，則θ=（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知：過A、B作AA₁，BB₁垂直于l，A₁，B₁為垂足，由橢圓的第二定義可知：丨AA₁丨=$\frac{丨AF丨}{e}$，丨BB₁丨=$\frac{丨BF丨}{e}$，由題意可知：丨AF丨=7丨BF丨，|AE|=|AA₁|-|EA₁|=|AA₁|-|BB₁|=$\frac{6丨BF丨}{e}$，由cosθ=cos∠BAE=$\frac{丨AE丨}{丨AB丨}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得傾斜角為θ的值．

解答 解：設(shè)l為橢圓的右準線，過A、B作AA₁，BB₁垂直于l，A₁，B₁為垂足，
過B作BE⊥AA₁，于E，
則丨AA₁丨=$\frac{丨AF丨}{e}$，丨BB₁丨=$\frac{丨BF丨}{e}$，
由$\overrightarrow{AF}$=7$\overrightarrow{FB}$知：丨AF丨=7丨BF丨，
|AE|=|AA₁|-|EA₁|=|AA₁|-|BB₁|=$\frac{6丨BF丨}{e}$
∴cos∠BAE=$\frac{丨AE丨}{丨AB丨}$=$\frac{6×\frac{丨BF丨}{e}}{8丨BF丨}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BAE=$\frac{π}{6}$，
θ=$\frac{π}{6}$，
故選A．

點評 本題考查橢圓的第二定義、橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直角三角形中的邊角關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．