Question

4．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2）（n為正整數(shù)）．設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為偶數(shù)}\\{{2}^{{a}_{n}}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，求T_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析 由6S_n=（a_n+1）（a_n+2）（n為正整數(shù)），n=1時，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁．n≥2時，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，相減可得：a_n-a_n-1=3，可得a_n=3n-1．由b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為偶數(shù)}\\{{2}^{{a}_{n}}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，通過分類討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：n=1時，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．
n≥2時，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，
兩式相減得：6a_n=a_n²-a_n-1²+3a_n-3a_n-1
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}為等差數(shù)列，a_n=3n-1．
由b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為偶數(shù)}\\{{2}^{{a}_{n}}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，
當n為偶數(shù)時，T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=$\frac{4（{8}^{\frac{n}{2}}-1）}{8-1}$+$\frac{\frac{n}{2}（5+3n-1）}{2}$=$\frac{4}{7}（{8}^{\frac{n}{2}}-1）$+$\frac{n（3n+4）}{3}$，
當n為奇數(shù)時，T_n=（b₁+b₃+…+b_n）+（b₂+b₄+…+b_n-1）
=$\frac{4（{8}^{\frac{n+1}{2}}-1）}{8-1}$+$\frac{\frac{n-1}{2}（5+3n-4）}{2}$
=$\frac{4}{7}（{8}^{\frac{n+1}{2}}-1）$+$\frac{（n-1）（3n+1）}{4}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{7}（{8}^{\frac{n}{2}}-1）+\frac{n（3n+4）}{3}，n為偶數(shù)}\\{\frac{4}{7}（{8}^{\frac{n+1}{2}}-1）+\frac{（n-1）（3n+1）}{4}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、遞推關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．