Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-1）x+1（a，b∈R，a＞0）．
（1）若f（1）=0，且對任意x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），求f（x）的解析式；
（2）已知x₁，x₂為函數(shù)f（x）的兩個零點，且x₂-x₁=2，當x∈（x₁，x₂）時，g（x）=-f（x）+2（x₂-x）的最大值為h（a），當a≥2時，求h（a）的最小值．
（3）若b=2a-3，則關(guān)于x的方程f（x）=|2x-a|+2是否存在負實根？若存在，求出該負根的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 由于題目給出式子結(jié)構(gòu)，并且知道a＞0，知函數(shù)f（x）是關(guān)于x的一元二次含參函數(shù)．故問題常接觸到對參數(shù)的求解或分析．
（1）題目有a和b兩個未知參數(shù)，條件中給出第一個條件f（1）=0，將1代入f（x）中的可得一個關(guān)于a，b的方程．題目第二個條件f（2-x）=f（2+x）表達的含義是函數(shù)的對稱性，即二次函數(shù)關(guān)于x=2對稱，x=2是二次函數(shù)f（x）的對稱軸，又可得關(guān)于a，b的方程．因此兩個方程兩個未知數(shù)，可求解出a與b．
（2）由題，將f（x）寫成雙根式f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）代入g（x），求得對稱軸處最大值h（a），再利用單調(diào)性求h（a）在區(qū)間[2，+∞）的最小值．
（3）對|2x-a|分類，當$x≥\frac{a}{2}$（a＞0）時，無論方程是否有解，都不存在負根．故只需討論$x＜\frac{a}{2}$的狀態(tài)．化簡方程可得ax²+（2a-2）x-a-1=0，在對方程較小根是否為負值進行分析．

解答 解：（1）由已知可得方程組$\left\{\begin{array}{l}{a+（b-1）+1=.0}\\{-\frac{b-1}{2a}=2}\end{array}\right.$，化簡求解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴f（x）的解析式為：$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x+1$；                 
（2）由題知f（x）等價于f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）代入g（x），得g（x）=-a（x-x₁）（x-x₂）+2（x₂-x）=-a（x-x₂）（x-x₁+$\frac{2}{a}$），
∴g（x）的對稱軸方程為$x=\frac{{x}_{2}+{x}_{1}-\frac{2}{a}}{2}$，且圖象開口向下，
又∵x∈（x₁，x₂），且x₂-x₁=2，
∴g（x）的最大值在對稱軸處取得，即把$x=\frac{{x}_{2}+{x}_{1}-\frac{2}{a}}{2}$代入g（x）
得：g（x）_max=-a（$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}-\frac{2}{a}}{2}$-x₂）（$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}-\frac{2}{a}}{2}$-x₁+$\frac{2}{a}$）=-a（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}-\frac{2}{a}}{2}$）（$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-\frac{2}{a}}{2}$+$\frac{2}{a}$）=a（1+$\frac{1}{a}$）²．
∴h（a）=a（1+$\frac{1}{a}$）²=a+$\frac{1}{a}$+2在a∈[2，+∞）單調(diào)遞增，
∴h（a）≥$\frac{9}{2}$；
故h（a）的最小值為$\frac{9}{2}$；                          
（3）∵$a＞0，當x≥\frac{a}{2}$時，方程無負根．        
 當x$＜\frac{a}{2}$時，方程去絕對值化簡為：ax²+（2a-2）x-a-1=0，
∵△=（（2a-2）²+4a（a+1）=8a²-4a+4＞0 恒成立，∴方程必有兩個根．
 又∵兩根之積$\frac{-a-1}{a}＜0$，∴方程必有唯一負根．                
記該方程的負根為x₀，則x₀=$\frac{-（2a-2）-\sqrt{（2a-2）^{2}+4a（a+1）}}{2a}$=$\frac{1}{a}-1-\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{1}{a}+2}$
令$t=\frac{1}{a}-\frac{1}{2}$則$t＞-\frac{1}{2}$
 ${x}_{0}=-[\frac{1}{2}-t+\sqrt{{t}^{2}+\frac{7}{4}}]$=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\frac{7}{4}}{t+\sqrt{{t}^{2}+\frac{7}{4}}}$ 在（$-\frac{1}{2}，+∞$）上單調(diào)遞增，
則${x}_{0}∈（-1-\sqrt{2}，-\frac{1}{2}）$

點評 考查一元二次函數(shù)解析式和對稱性，二次函數(shù)的最值問題，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點的判斷與應(yīng)用，考查了方程與函數(shù)思想，分類討論思想，學(xué)生對大量未知變量的處理能力．屬于壓軸題．