13．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜2）$，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|BF2|+|AF2|的最大值為6，則b的值是$\sqrt{2}$．

分析 由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|=8-|AB|，再由過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8-|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于6列式求b的值．

解答 解：由0＜b＜2可知，焦點(diǎn)在x軸上，
∵過(guò)F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8
∴|BF2|+|AF2|=8-|AB|．
當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此時(shí)|AB|=b2，∴6=8-b2，
解得b=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，解答此題的關(guān)鍵是明確過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，是中檔題．

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