Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²-x|x-a|-ka（k為常數(shù)且k＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，求|x₁-x₂|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函數(shù)的性質(zhì)求出分段函數(shù)的表達(dá)式，即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論a的取值范圍結(jié)合函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=x²-x|x-1|-k，
若x≥1，則f（x）=x²-x|x-1|-k=x-k，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)x＜1時(shí)，則f（x）=x²-x|x-1|-k=2x²-x-k=2（x-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$-k，
此時(shí)在（-∞，$\frac{1}{4}$]為減函數(shù)，在[$\frac{1}{4}$，1]上為增函數(shù)，
即函數(shù)的增區(qū)間為[$\frac{1}{4}$，+∞），減區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{4}$]；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（x-k），}&{x≥a}\\{2{x}^{2}-ax-ak，}&{x＜a}\end{array}\right.$，
當(dāng)a＜0時(shí)，
①若x≥a，則由a（x-k）=0，得x₁=k＞0＞a．
②當(dāng)x＜0時(shí)，y=2x²-ax-ak在（-∞，$\frac{a}{4}$）上單調(diào)遞減，且$\frac{a}{4}$＞a，
∴y=2x²-ax-ak在（-∞，a）上單調(diào)遞減，
∴y=2x²-ax-ak＞2a²-a²-ak=a²-ak＞0，
∴x＜0時(shí)，2x²-ax-ak=0無(wú)解，不滿足條件．
當(dāng)a＞0時(shí)，①若0＜a≤k，
若x≥a，則x-k=0，j即x₁-k≥a 是方程f（x）=0的根，
若x＜a，令g（x）=2x²-ax-ak，
則g（a）=2a²-a²-ak=a²-ak=a（x-k）＜0，
∴在（-∞，a）上存在唯一的x₂，使f（x₂）=0．
此時(shí)|x₁-x₂|=k-$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8ak}}{4}$≥k-$\frac{k-\sqrt{{k}^{2}+8{k}^{2}}}{4}$=$\frac{3k}{2}$，
②當(dāng)a＜k時(shí)，a（x-k）=0無(wú)解，g（a）=a（a-k）＞0，
g（$\frac{a}{4}$）=$\frac{{a}^{2}}{8}-\frac{{a}^{2}}{4}-ak$=$-\frac{{a}^{2}}{8}-ak$＜0，
∴在（-∞，a）上f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)|x₁-x₂|=k-$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8ak}}{4}$＞$\frac{3k}{2}$，
綜上|x₁-x₂|=k-$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8ak}}{4}$≥$\frac{3k}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．