Question

17．設(shè)q（q＞0，q≠1）是一個公比為q（q＞0，q≠1）等比數(shù)列，4a₁，3a₂，2a₃成等差數(shù)列，且它的前4項和s₄=15．
（Ⅰ）求數(shù)列b_n=$\frac{a_n}{n}$，（n=1，2，3…）的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=a_n+2n，（n=1，2，3…），求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（II）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵q（q＞0，q≠1）是一個公比為q（q＞0，q≠1）的等比數(shù)列，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$．
∵4a₁，3a₂，2a₃成等差數(shù)列，
∴6a₂=4a₁+2a₃，即q²-3q+2=0．
解得q=2，q=1（舍）．
又它的前4和S₄=15，得$\frac{{{a_1}（1-{q^4}）}}{1-q}=15\;（q＞0，q≠1）$，
解得a₁=1．
∴${a_n}={2^{n-1}}$．
（Ⅱ）∵b_n=a_n+2n=2^n-1+2n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{n（2+2n）}{2}$=2ⁿ-1+n（n+1）．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．