Question

19．設圓C方程為x²+y²=r²（r＞0），點M（x₀，y₀）是圓C內一點，O是坐標原點，則直線x₀x+y₀y=r²（　�。�

• A． 與圓C相離且與直線OM垂直
• B． 與圓C相離且與直線OM不垂直
• C． 與圓C相交且與直線OM垂直
• D． 與圓C相交且與直線OM不垂直

Answer 1

分析 由點M（x₀，y₀）在圓C內，則${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}＜{r}^{2}$，再由點到直線的距離公式判斷直線與圓相離，利用斜率間的關系可得直線x₀x+y₀y=r²與直線OM垂直．

解答 解：∵點M（x₀，y₀）是圓C內一點，∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}＜{r}^{2}$，
圓C的圓心（0，0）到直線x₀x+y₀y=r²的距離d=$\frac{|-{r}^{2}|}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}=\frac{{r}^{2}}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}＞\frac{{r}^{2}}{r}=r$，
∴直線x₀x+y₀y=r²與圓C相離；
又${k}_{OM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，直線x₀x+y₀y=r²的斜率為$-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
∴直線x₀x+y₀y=r²與直線OM垂直．
故選：A．

點評 本題考查圓的切線方程，考查了直線與圓的位置關系的應用，是中檔題．