Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax．其中a為非零常數(shù)．
（1）求a=1時，f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)b∈R，若f（x）≤b-a對x＞0恒成立，求$\frac{a}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)f（x）≤b-a?b＞lnx-ax+a，設(shè)h（x）=lnx-ax+a，通過討論a的范圍，求出h（x）的最大值，從而求出$\frac{a}$的最小值即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=lnx-x，則f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
0＜x＜1時，f′（x）＞0，x＞1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（2）f（x）≤b-a?b＞lnx-ax+a，
設(shè)h（x）=lnx-ax+a，則h′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
a＜0時，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）遞增，b≥h（x）不可能恒成立，
a＞0時，h′（x）＞0?0＜x＜$\frac{1}{a}$，h′（x）＜0?x＞$\frac{1}{a}$，
∴h（x）_max=h（$\frac{1}{a}$）=ln（$\frac{1}{a}$）-1+a=a-lna-1，
b≥a-lna-1?$\frac{a}$≥1-$\frac{lna}{a}$-$\frac{1}{a}$，
設(shè)g（a）=1-$\frac{lna}{a}$-$\frac{1}{a}$（a＞0），g′（a）=$\frac{lna}{{a}^{2}}$，
∴g′（a）＞0?a＞1，g′（a）＜0?0＜a＜1，
∴g（x）_min=g（1）=0，解得：$\frac{a}$≥0，
∴a=1，b=0時，$\frac{a}$取最小值0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．