Question

16．已知a＞0，函數(shù)$f（x）=-2asin（{2x+\frac{π}{6}}）+2a+b$，當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，-5≤f（x）≤1
（1）求常數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$時(shí)，求f（x）的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范圍，再根據(jù)題意列出方程組，求出a、b的值；
（2）由a、b的值寫出f（x）的解析式，再根據(jù)x的取值范圍求出f（x）的最大、最小值以及對(duì)應(yīng)的x值．

解答 解：（1）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7}{6}$π，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
又∵a＞0，-5≤f（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2a+2a+b=-5\\ a+2a+b=1\end{array}$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-5\end{array}$；
（2）由a=2、b=-5知，f（x）=-4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1；
∴當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$時(shí)，$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$；
令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，得x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值-5；
令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，得x=0時(shí)，f（x）取得最大值-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．