Question

1．定義在R上的函數(shù) y=f（x） 對(duì)任意的x，y∈R，滿足條件：f（x+y）=f（x）+f（y）-2，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2
（1）求f（0）的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)；
（3）解不等式f（2t²-t-3）-2＜0．

Answer 1

分析 （1）由題意 y=f（x） 對(duì)任意的x，y∈R，關(guān)系式成立，采用賦值法，可得f（0）的值；
（2）利用定義證明其單調(diào)性．
（3）利用單調(diào)性及f（0）的值，求解不等式即可．

解答 解：由題意：函數(shù) y=f（x）定義在R上 對(duì)任意的x，y∈R滿足條件：f（x+y）=f（x）+f（y）-2，
∴令x=y0，
由f（x+y）=f（x）+f（y）-2，
可得：f（0）=f（0）+f（0）-2，
解得：f（0）=2．
故f（0）的值為：2．
（2）證明：設(shè)x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，
則x₂-x₁＞0，
由（1）可得f（x₂-x₁）＞2．
因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2，
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＞f（x₁）
所以函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)．
（3）解：由（1）（2）可知函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)．且f（0）=2；
不等式f（2t²-t-3）-2＜0，變形得f（2t²-t-3）＜2，轉(zhuǎn)化為f（2t²-t-3）＜f（0）．
故得：2t²-t-3＜0
解得：$-1＜t＜\frac{3}{2}$，
所以原不等式的解集是（-1，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的運(yùn)用能力和化簡(jiǎn)，單調(diào)性的證明．屬于中檔題．