Question

10．已知點P（x，y）的坐標滿足$\left\{\begin{array}{l}x+4y-16≤0\\ x+y-4≥0\\ x≤4\end{array}\right.$，O為坐標原點，記|PO|的最大值為m，最小值為n，則雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$的離心率為$\frac{\sqrt{33}}{5}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合求出m，n的值，再由隱含條件求出雙曲線的半焦距，代入離心率公式得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+4y-16≤0\\ x+y-4≥0\\ x≤4\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{x+4y-16=0}\end{array}\right.$，解得A（4，3），
由圖可知，|PO|的最大值為m=5，最小值為n=$\frac{|-4|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，
雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$的實半軸長m=5，半焦距c=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}=\sqrt{33}$，
∴雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$的離心率為$\frac{\sqrt{33}}{5}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{33}}}{5}$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，是中檔題．