19.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,且an+1+1=an2-nan-n(n∈N*).
(1)計(jì)算a2,a3,a4的值,由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不必證明);
(2)求證:當(dāng)n≥2時(shí),ann≥4nn

分析 (1)由an+1=an2-nan-n(n∈N*),且a1=3,分別令 n=1,2,3,4即可求解,進(jìn)而可猜想;
(2)由(1)可得an=n+2,從而有ann=(n+2)n,利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)后即可證明.

解答 解:(1)n=1時(shí),a2=4;n=2時(shí),a3=5;n=3時(shí),a4=6;n=4時(shí),a5=7;
猜想:an=n+2…(3)
(2)法一:要證$a_n^n≥4{n^n}(n≥2)$成立
只要證(n+2)n≥4nn(n≥2)
只要證(x+2)x≥4xx(x≥2)
只要證xln(x+2)≥ln4+xlnx(x≥2)
即證xln(x+2)-ln4-xlnx≥0(x≥2),
f(x)=xln(x+2)-ln4-xlnx(x≥2)…(6)
$f'(x)=ln(x+2)+\frac{x}{x+2}-lnx-1=ln\frac{x+2}{x}+\frac{x}{x+2}-1$
令$t=\frac{x+2}{x}=1+\frac{2}{x}(1<t≤2)$,則$y=lnt+\frac{1}{t}-1,y'=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}=\frac{t-1}{t^2}>0$,
所以$y=lnt+\frac{1}{t}-1$在(1,2]上單調(diào)遞增,所以y>0,即f'(x)>0,
所以f(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(2)=0得證.…(10)
法二:令$y={(\frac{a_n}{n})^n}(n≥2),y={(\frac{n+2}{n})^n}={(1+\frac{2}{n})^n}=C_n^0+C_n^1\frac{2}{n}+C_n^2{(\frac{2}{n})^2}+…=1+2+\frac{n(n-1)}{2}•\frac{4}{n^2}+…$
=$5-\frac{2}{n}+…$,
∵n≥2,∴y≥4,即${(\frac{a_n}{n})^n}≥4$,即$a_n^n≥4{n^n}(n≥2)$得證.…(10)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在求解數(shù)列的通項(xiàng)綜的應(yīng)用及歸納法的應(yīng)用,解答(2)的關(guān)鍵是二項(xiàng)展開(kāi)式的應(yīng)用.

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