Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n≠0，a₁=1，a_n-a_n+1=2a_na_n+1（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃；
（2）求證：$\{\frac{1}{a_n}\}$是等差數(shù)列，并求出a_n；
（3）設(shè)b_n=a_na_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n＜$\frac{1}{2}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）由a_n≠0，a_n+1≠0，對(duì)a_n-a_n+1=2a_na_n+1左右兩邊同時(shí)除以a_na_n+1得$\frac{a_n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}-\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=2$，化簡利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由a_n-a_n+1=2a_na_n+1，及a₁=1知n=1時(shí)，a₁-a₂=2a₁a₂，${a_2}=\frac{1}{3}$；n=2時(shí)，a₂-a₃=2a₂a₃，${a_3}=\frac{1}{5}$．
（2）∵a_n≠0，∴a_n+1≠0，對(duì)a_n-a_n+1=2a_na_n+1左右兩邊同時(shí)除以a_na_n+1得$\frac{a_n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}-\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=2$，即$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=2$（n∈N^*），易知$\frac{1}{a_1}=1$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$是以1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{a_n}=1+（n-1）×2=2n-1$，${a_n}=\frac{1}{2n-1}$，
（3）${b_n}=\frac{1}{2n-1}•\frac{1}{2n+1}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
${S_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$．
∵n∈N^*，∴$\frac{1}{2n+1}＞0$，∴$1-\frac{1}{2n+1}＜1$，∴${S_n}＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．