Question

7．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）和圓O：x²+y²=b²，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B．
（Ⅰ）若圓O過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率e的值；
（Ⅱ）設直線AB與x、y軸分別交于點M，N，問當點P在橢圓上運動時，$\frac{a^2}{{O{N^2}}}$+$\frac{b^2}{{O{M^2}}}$是否為定值？請證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓O過橢圓的焦點，圓O：x²+y²=b²，可得b=c，再利用b²=a²-c²，及其離心率計算公式即可得出．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用切線的性質可得：$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，整理進而得到PA方程為：x₁x₀+y₁y₀=b²．同理可得：PB方程為：x₂x₀+y₂y₀=b²．可得直線AB的方程為：x₀x+y₀y=b²．再利用$^{2}{x}_{0}^{2}$+${a}^{2}{y}_{0}^{2}$=a²b²．即可得出定值．

解答 解：（Ⅰ）∵圓O過橢圓的焦點，圓O：x²+y²=b²，∴b=c，
∴b²=a²-c²，a²=2c²，∴e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，整理得x₀x₁+y₀y₁=${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$．
∵${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$=b²．∴PA方程為：x₁x₀+y₁y₀=b²．
同理可得：PB方程為：x₂x₀+y₂y₀=b²．
從而直線AB的方程為：x₀x+y₀y=b²．
令x=0，得|ON|=|y|=$\frac{^{2}}{|{y}_{0}|}$，令y=0，得|OM|=|x|=$\frac{^{2}}{|{x}_{0}|}$．
又$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1，即$^{2}{x}_{0}^{2}$+${a}^{2}{y}_{0}^{2}$=a²b²．
∴$\frac{a^2}{{O{N^2}}}$+$\frac{b^2}{{O{M^2}}}$=$\frac{{a}^{2}{y}_{0}^{2}+^{2}{x}_{0}^{2}}{^{4}}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{4}}$=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$，
∴$\frac{a^2}{{O{N^2}}}$+$\frac{b^2}{{O{M^2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$為定值．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與圓相切的性質、斜率計算公式、點與橢圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．