Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x∈（0，+∞）時，f（x）=cosx+x，若實數(shù)a滿足f（log₂a）+f（log 

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2

a）≤2f（1），則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：由偶函數(shù)的定義和運用導數(shù)判斷函數(shù)在x＞0上的單調(diào)性，可將不等式f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤2f（1）
化簡為f（log₂a）≤f（1），即f（|log₂a|）≤f（1），即|log₂a|≤1，解得即可得到a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∵當x∈（0，+∞）時，f（x）=cosx+x，
∴f′（x）=1-sinx≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（log₂a）+f（log 

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2

a）≤2f（1）
即f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
∴2f（log₂a）≤2f（1）即f（log₂a）≤f（1），
即f（|log₂a|）≤f（1），
∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴|log₂a|≤1，
即-1≤log₂a≤1，解得

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2

≤a≤2．
故答案為：[

1

2

，2]．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及運用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及運用，注意函數(shù)的定義域，注意運用導數(shù)判斷單調(diào)性，屬于中檔題．