Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+1）x+alnx+4（a＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間l
（2）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)y=f（x）在[eⁿ，+∞]（n∈Z）有零點(diǎn)，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)性，取特殊值，求出n的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{x}$＜0，
∵x＞0，∴x²-（a+1）+a＜0，即（x-a）（x-1）＜0，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（a，1）遞減，a＞1時(shí)，f（x）在（1，a）遞減，a=1時(shí)，不存在遞減區(qū)間；
（2）a=2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx+4，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴f（x）極大值=f（1）=$\frac{3}{2}$＞0，f（x）極小值=f（2）=2ln2＞0，
故n∈N時(shí)，f（x）在[eⁿ，+∞）內(nèi)不存在零點(diǎn)，
當(dāng)n=-1時(shí)，f（e^-1）=$\frac{2e-3}{e}$+$\frac{1}{{2e}^{2}}$＞0，
n=-2時(shí)，f（e^-2）=$\frac{1-{6e}^{2}}{{2e}^{4}}$＜0，
故在[e^-2，e^-1]內(nèi)存在一零點(diǎn)，
故函數(shù)f（x）在[eⁿ，+∞），（n∈Z）有零點(diǎn)時(shí)，n的最大值是-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的意義以及分類討論思想，是一道中檔題．