Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，且，,點為線段的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）4

【解析】

（Ⅰ）連結(jié)BD，交AC于點O，連結(jié)OE．可得PB∥OE，再由線面平行的判定可得PB∥平面ACE；

（Ⅱ）由PA＝AD，E為線段PD的中點，得AE⊥PD，再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，由線面垂直的判定可得AE⊥平面PCD,從而得證；

（Ⅲ）根據(jù)AE⊥平面PCD，結(jié)合三棱錐的體積公式求出其體積即可．

（Ⅰ）證明：連接,交于點,連接,

因為是矩形對角線交點，所以為中點，

又已知為線段的中點，所以,又平面

平面,所以平面；

（Ⅱ）證明：因為平面，平面,

所以,又因為底面是矩形，

所以,,平面,平面.

所以,為的中點, ,

所以,,

所以平面, .

（Ⅲ）.