【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是菱形,
,
,
,
底面
,
,點(diǎn)
在棱
上,且
(1)證明:面面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
方法一:(1)由題意,得出,再由菱形的性質(zhì),求得
,由線面垂直的判定定理,證得
面
,進(jìn)而利用面面垂直的判定定理,即可得到面
面
;
(2)連接OE,證得,得到
是二面角
的平面角,在
中,即可求解.
法二:(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,求得平面
的一個(gè)法向量為
,根據(jù)
,得
面
,在面面垂直的判定定理,證得面
面
;
(2)分別求得平面和平面
的法向量為
,利用向量的夾角公式,即可求解.
(1)證明:∵面
∴
∵在菱形中,
且
∴面
故面面
(2)連接,則
面
面
故在面
內(nèi)的射影為
∵
∴
又由(1)可得,
故是二面角
的平面角
菱形中,
,
∴,
又 所以
故
∴ 即二面角
的余弦值為
法二:(1)菱形中,
又
面
故可以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
由 可知相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)如下:
則平面的一個(gè)法向量為
因?yàn)?/span> 所以
故
面
從而面面
(2)設(shè),則
因?yàn)?/span>
所以
故
可得:
平面的一個(gè)法向量為
設(shè)平面的一個(gè)法向量
則 故
∴
即二面角的余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2ex+3x2-2x+1+b,x∈R的圖象在x=0處的切線方程為y=ax+2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)若存在實(shí)數(shù)x,使得f(x)-2x2-3x-2-2k≤0成立,求整數(shù)k的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】長方形中,
,
是
中點(diǎn)(圖1).將△
沿
折起,使得
(圖2).在圖2中:
(1)求證:平面
平面
;
(2)若,
,求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一研究性學(xué)習(xí)小組對春季晝夜溫差大小與某大豆種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們分別記錄了4月1日至4月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子的發(fā)芽數(shù),得到如下數(shù)據(jù):
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 |
溫差 | 8 | 12 | 13 | 11 | 10 |
發(fā)芽數(shù) | 18 | 26 | 30 | 25 | 20 |
該學(xué)習(xí)組所確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天的數(shù)據(jù)的概率;
(2)若選取的是4月1日與4月5日這2組數(shù)據(jù)做檢驗(yàn),請根據(jù)4月2日至4月4日這3組數(shù)據(jù)求出關(guān)于
的線性回歸方程
;
(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)所得的線性回歸方程是否可靠?
參考公式和數(shù)據(jù):,
;
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了解高一學(xué)生的視力健康狀況,在高一年級體檢活動中采用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表,按照《中國學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測工作手冊》的方法對1039名學(xué)生進(jìn)行了視力檢測,判斷標(biāo)準(zhǔn)為:雙眼裸眼視力為視力正常,
為視力低下,其中
為輕度,
為中度,
為重度.統(tǒng)計(jì)檢測結(jié)果后得到如圖所示的柱狀圖.
(1)求該校高一年級輕度近視患病率;
(2)根據(jù)保護(hù)視力的需要,需通知檢查結(jié)果為“重度近視”學(xué)生的家長帶孩子去醫(yī)院眼科進(jìn)一步檢查和確診,并開展相應(yīng)的矯治,則該校高一年級需通知的家長人數(shù)約為多少人?
(3)若某班級6名學(xué)生中有2人為視力正常,則從這6名學(xué)生中任選2人,恰有1人視力正常的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校微信公眾號收到非常多的精彩留言,學(xué)校從眾多留言者中抽取了100人參加“學(xué)校滿意度調(diào)查”,其留言者年齡集中在之間,根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,做出頻率分布直方圖如下:
(1)求這100位留言者年齡的平均數(shù)和中位數(shù);
(2)學(xué)校從參加調(diào)查的年齡在和
的留言者中,按照分層抽樣的方法,抽出了6人參加“精彩留言”經(jīng)驗(yàn)交流會,贈與年齡在
的留言者每人一部價(jià)值1000元的手機(jī),年齡在
的留言者每人一套價(jià)值700元的書,現(xiàn)要從這6人中選出3人作為代表發(fā)言,求這3位發(fā)言者所得紀(jì)念品價(jià)值超過2300元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是矩形,
平面
,且
,
,點(diǎn)
為線段
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)若對
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)求整數(shù)的值,使函數(shù)
在區(qū)間
上有零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求函數(shù)
的定義域和值域;
(Ⅱ)若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,值域?yàn)?/span>
,求實(shí)數(shù)
的值.
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