Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，CC₁=2
（1）求證：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）求平面A₁BC₁與平面ACD₁的距離．

Answer 1

（1）證明：作圖如下所示：
∵四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，∴AC∥A₁C₁，
AC?面A₁BC₁，A₁C₁?A₁BC₁，
∴AC∥同理可證CD₁∥面A₁BC₁，
又AC∩CD₁=C，AC?面ACD₁，CD₁?面ACD₁，
∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）解：分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（4，0，0），A（4，0，2），D₁（4，3，0），C（0，3，2），
=（0，0，2），=（-4，3，0），=（0，3，-2），
設(shè)=（x，y，z）為面ACD₁的一個法向量，
則，即，取=（3，4，6），
所以所求距離d=||×|cos＜，＞|===，
故平面A₁BC₁與平面ACD₁的距離為．
分析：（1）根據(jù)面面平行的判定定理，要證平面A₁BC₁∥平面ACD₁，只需證明AC∥面A₁BC₁，CD₁∥面A₁BC₁；
（2）建立空間坐標(biāo)系，設(shè)為面ACD₁的一個法向量，則所求距離d=||×|cos＜，＞|，根據(jù)條件計算所求值即可；
點評：本題考查面面平行的判定及兩平行面間的距離求解，考查學(xué)生的運算能力、分析解決問題的能力，屬中檔題．