Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-a²x（a＞0）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=

1

2

x²，若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求f′（x），根據(jù)已知條件知：f′（1）=0，這樣即可求出a，從而求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號，判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，討論a的取值，從而判斷f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）求F′（x）=x²-x-a²，根據(jù)已知條件知：x∈[2，+∞）時，F(xiàn)′（x）≥0恒成立，并且得到：a²≤x²-x，求函數(shù)x²-x在[2，+∞）上的最小值，即得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-a²；
∵f（x）在x=1處取得極值；
∴f′（1）=1-a²=0；
又a＞0
∴a=1；
∴f（x）=

1

3

x3-x；
（Ⅱ）令f′（x）=x²-a²=0，得x=±a；
∴x∈[0，a）時，f′（x）＜0，即f（x）在[0，a）上單調(diào)遞減；x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，即f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增；
∴若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）在[0，a）上單調(diào)遞減，在（a，1]上單調(diào)遞增，∴f（x）的最小值是f（a）=-

2

3

a3；
若a≥1，則函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f（x）的最小值是f（1）=

1

3

-a2；
（Ⅲ）F（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-a2x，F(xiàn)′（x）=x²-x-a²；
∵F（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
∴x∈[2，+∞）時，x²-x-a²≥0恒成立，即a²≤x²-x恒成立；
∵x2-x=(x-

1

2

)2-

1

4

在[2，+∞）上的最小值為2；
∴a²≤2，∴0＜a≤

2

；
∴a的取值范圍為：(0，

2

]．

點評：考查極值的概念，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)的最值及根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系．