（本小題8分）已知圓C: 及直

（1）證明：不論m取何值，直線l與圓C恒相交；

（2）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線方程．

 

【答案】

（1）見解析；（2）y=x-1。

【解析】本題考查直線與圓相交的證明，考查直線被圓截得的線段的最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線的方程．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．

解：由得

∴圓C的圓心為(2,3),半徑為2……………2分

（1）由得

由得

∴不論m取何值，直線l恒過點(diǎn)P(3,2)…………….4分

∵

∴點(diǎn)P(3,2)在圓C內(nèi)……………3分

所以不論m取何值，直線l與圓C恒相交…………….5分

（2）當(dāng)直線l垂直CP時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短

∵…………….7分

所以所求的直線方程為y=x-1…………….8分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求圓C的方程；

（2）設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P（2，0）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

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