Question

5．已知，函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-b|．
（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若a，b∈R，且$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}$=1，求證：f（x）≥$\frac{9}{2}$；并求f（x）=$\frac{9}{2}$時(shí)，a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，把不等式f（x）＜4轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）利用絕對(duì)值三角不等式、基本不等式求得f（x）的最小值為$\frac{9}{2}$，從而證得結(jié)論，此時(shí)，由b=2a，$\frac{1}{2a}+\frac{2}=1$，解得a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，不等式f（x）＜4化為|x+1|+|x-2|＜4，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1+2-x＜4}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{x+1+2-x＜4}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x+1+x-2＜4}\end{array}\right.$ ③．
解①求得-$\frac{3}{2}$＜x＜-1，解②求得-1≤x≤2，解③求得2≤x＜$\frac{5}{2}$，
∴不等式f（x）＜4的解集為$\{x|-\frac{3}{2}＜x＜\frac{5}{2}\}$．
（Ⅱ）證明：f（x）=|x+a|+|x-b|≥|（x+a）-（x-b）|=|a+b|=a+b
=$（a+b）（\frac{1}{2a}+\frac{2}）$=$\frac{5}{2}+\frac{2a}+\frac{2a}$$≥\frac{5}{2}+2\sqrt{\frac{2a}•\frac{2a}}$=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2a}=\frac{2a}$，即b=2a時(shí)“=”成立．
又當(dāng)f（x）=$\frac{9}{2}$時(shí)，b=2a，$\frac{1}{2a}+\frac{2}=1$，解得$a=\frac{3}{2}$，b=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式和基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．