Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且在x=1處取得極值，
（1）若y=f（x）在原點(diǎn)處的切線的斜率為-3，求f（x）的解析式和極值；
（2）若f（x）在x=1處取得的是極小值，問是否存在實(shí)數(shù)m，n，t∈[1，$\frac{3}{2}$]使得f（m）+f（n）＜f（t）成立，若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b，c的方程組，解出即可；（2）求出b=-2a-3，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由題可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f′（1）=0}\\{f′（0）=-3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{3+2a+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=0，b=-3，c=0，
∴f（x）=x³-3x且f（x）的極大值為f（-1）=2，極小值為f（1）=-2；
（2）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{3+2a+b=0}\end{array}\right.$，得：b=-2a-3，
∴f（x）=x³+ax²-（2a+3）x，f′（x）=（x-1）（3x+2a+3），
因?yàn)閒（x）在x=1處取得的是極小值，則可得-$\frac{2a+3}{3}$＜1，解得：a＞-3，
且f（x）在[1，$\frac{3}{2}$]上單調(diào)遞增，要想存在實(shí)數(shù)m，m，t∈[1，$\frac{3}{2}$]，
使得f（m）+f（n）＜f（t）成立，
則只需2f（1）＜f（$\frac{3}{2}$），2（-2-a）＜-$\frac{3}{4}$a-$\frac{9}{8}$，解得：a＞-$\frac{23}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．