Question

12．已知a是實常數(shù)，函數(shù)f（x）=xlnx+ax²，
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線過點A（0，-2），求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）
①求證：-$\frac{1}{2}$＜a＜0；
②求證：f（x₂）＞f（x₁）且x₁∈（0，1）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到切點，表示出切線方程，代入A，求出a的值即可；
（2）①設g（x）=lnx+2ax+1，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調性，從而求出a的范圍，證出結論；
②根據(jù)函數(shù)的單調性得到f（x）在[x₁，x₂]上為增函數(shù)，得到f（x₂）＞f（x₁），f′（1）=g（1）=2a+1＞0，從而證出結論．

解答 解：（1）由已知：f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切點P（1，a）…（1分）
切線方程：y-a=（2a+1）（x-1），把（0，-2）代入得：a=1                 …（3分）
（2）①依題意：f′（x）=0有兩個不等實根，
設g（x）=lnx+2ax+1，則：$g′（x）=\frac{1}{x}+2a（x＞0）$
當a≥0時：g′（x）＞0，所以g（x）是增函數(shù)，不符合題意；             …（5分）
當a＜0時：由g′（x）=0得：$x=-\frac{1}{2a}＞0$
列表如下：

x	$（0，-\frac{1}{2a}）$	$-\frac{1}{2a}$	$（-\frac{1}{2a}，+∞）$
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

依題意：$g（-\frac{1}{2a}）=ln（-\frac{1}{2a}）＞0$，解得：$-\frac{1}{2}＜a＜0$
綜上所求：$-\frac{1}{2}＜a＜0$，得證；     …（8分）
②由①知：f（x），f′（x）變化如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

由表可知：f（x）在[x₁，x₂]上為增函數(shù)，所以：f（x₂）＞f（x₁）…（10分）
又f′（1）=g（1）=2a+1＞0，故x₁∈（0，1）…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，是一道綜合題．