Question

已知關于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）當k=1時，求不等式的解集；
（2）當k變化時，試求不等式的解集A．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）把k=1代入不等式化簡后，直接求出不等式的解集即可；
（2）先對k的取值分類討論：當k=0時直接求出解集A，當k≠0時把不等式化為：k(x-

k2+4

k

)(x-4)＞0，再分k＜0和k＞0分兩種情況，當k＞0時需要利用基本不等式，判斷出兩個根的大小關系，此時還對k進行分類討論，再分別求出解集A．

解答： 解：（1）當k=1時，不等式為（x-5）•（x-4）＞0，解得x＞5或x＜4，
即解集是（-∞，4）∪（5，+∞）（4分）
（2）當k變化時，可對k的取值分類討論：
①當k=0時，不等式為：-4（x-4）＞0，解得x＜4，即A=（-∞，4）（6分）
當k≠0時，不等式可化為：k(x-

k2+4

k

)(x-4)＞0
②當k＜0時，不等式為(x-

k2+4

k

)(x-4)＜0，且

k2+4

k

＜4，
解得：

k2+4

k

＜x＜4，即A=(

k2+4

k

，4)         （8分）
③當k＞0時，不等式為(x-

k2+4

k

)(x-4)＞0，
又

k2+4

k

=k+

4

k

≥4，當且僅當k=

4

k

，即k=2時取等號，
所以當k=2時，不等式為（x-4）²＞0，解得x≠4，則A=（-∞，4）∪（4，+∞）（10分）
當k＞0且k≠2時，

k2+4

k

＞4，則A═（-∞，4）∪（

k2+4

k

，+∞）（12分）

點評：本題考查一元二不等式的解法，基本不等式，以及分類條論思想的應用，注意分類討論的標準，屬于中檔題．