Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x²+2），若f（5）=3；
（1）求a的值；     
（2）求f(

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)的值；   
（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（5）=3構(gòu)造對數(shù)方程，解得a值；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式，將x=

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代入可得答案；
（3）不等式f（x）＜f（x+2）即為log3(x2+2)＜log3[(x+2)2+2]，化簡不等式得log3(x2+2)＜log3(x2+4x+6)，進(jìn)而根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得x²+2＜x²+4x+6，解得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵f（5）=3，
∴loga(52+2)=3，
即log_a27=3
解锝：a=3…（4分）
（2）由（1）得函數(shù)f(x)=log3(x2+2)，
則f(

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)=log3[(

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)2+2]=log39=2…（8分）
（3）不等式f（x）＜f（x+2），
即為log3(x2+2)＜log3[(x+2)2+2]
化簡不等式得log3(x2+2)＜log3(x2+4x+6)…（10分）
∵函數(shù)y=log₃x在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f(x)=log3(x2+2)的定義域為R．
∴x²+2＜x²+4x+6…（12分）
即4x＞-4，
解得x＞-1，
所以不等式的解集為：（-1，+∞）…（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是對數(shù)函數(shù)與二次不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．