Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在直線x+2y-2=0上，動(dòng)點(diǎn)Q在直線x+2y+4=0上，線段PQ中點(diǎn)M（x₀，y₀）滿足不等式

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

，則x₀²+y₀²的取值范圍是（　�。�

• A．[

  5

  5

  ，

  34

  ]
• B．[

  1

  5

  ，34]
• C．[

  1

  5

  ，10]
• D．[10，34]

Answer 1

分析：首先由直線x+2y-2=0與直線x+2y+4=0是平行線，得出PQ的中點(diǎn)M（x₀，y₀）滿足的直線方程；再根據(jù)

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域進(jìn)一步限定M的范圍；最后結(jié)合x(chóng)₀²+y₀²的幾何意義求出其范圍．

解答：解：根據(jù)題意作圖如下
因?yàn)镻Q中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程x+2y+1=0，
又

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

，則點(diǎn)M在線段AB上，
且由 得 A（-3，1），B（5，-3）
則x₀²+y₀²的可視為點(diǎn)M與原點(diǎn)O的距離的平方，
其距離最小為原點(diǎn)到直線x+2y+1=0的距離，最大為OB．
則x₀²+y₀²的取值范圍是[

1

5

，34]．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題為一道中檔題，要求學(xué)生會(huì)利用解析法求出中點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)根據(jù)條件列出不等式求解集．學(xué)生做題時(shí)注意靈活x₀²+y₀²的幾何意義求出其范圍．