Question

8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若$\frac{2a-c}$=$\frac{cosC}{cosB}$，b=4，則△ABC的面積的最大值為（　�。�

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知式子和正弦定理可得B=$\frac{π}{3}$，再由余弦定理可得ac≤16，由三角形的面積公式可得．

解答 解：∵在△ABC中$\frac{2a-c}$=$\frac{cosC}{cosB}$，
∴（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
約掉sinA可得cosB=$\frac{1}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得16=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac，
∴ac≤16，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤4$\sqrt{3}$
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面積公式，屬中檔題．