Question

10．以雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F為圓心，a為半徑的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線相切，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圓和漸近線的垂直關(guān)系建立方程條件進行求解即可．

解答 解：由題意知圓心F（c，0），雙曲線的漸近線為y=±$\frac{a}$x，不妨設(shè)其中一條為bx-ay=0，
∵圓與漸近線相切，
∴圓心到漸近線的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{bc}{c}$=b=a，
即c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=\sqrt{2}a$
即離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)直線和圓的相切關(guān)系建立方程是解決本題的關(guān)鍵．