Question

2．在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA+$\sqrt{2}$，sinA），向量$\overrightarrow{n}$=（-sinA，cosA），若|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=2．
（1）求角A的大��；
（2）若b=4$\sqrt{2}$，且c=$\sqrt{2}$a，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)向量模的運(yùn)算表示出|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|²，然后化簡成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=2可求出A的值．
（2）先根據(jù)余弦定理求出a，c的值，再由三角形面積公式可得到最后答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$=（cosA+$\sqrt{2}$-sinA，cosA+sinA），
∴|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|²=（cosA+$\sqrt{2}$-sinA）²+（cosA+sinA）²，
=2+2$\sqrt{2}$（cosA-sinA）+（cosA-sinA）²+（cosA+sinA）²
=2+2$\sqrt{2}$（cosA-sinA）+2
=4-4sin（A-$\frac{π}{4}$），
∵|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=2，
∴4sin（A-$\frac{π}{4}$）=0，
又∵0＜A＜π，
∴-$\frac{π}{4}$＜A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴A-$\frac{π}{4}$=0，
∴A=$\frac{π}{4}$．
（2）∵由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，又b=4$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$a，A=$\frac{π}{4}$，
得：a²=32+2a²-2×4$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$a•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即：a²-8$\sqrt{2}$a+32=0，解得a=4$\sqrt{2}$，
∴c=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$b•csinA=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×8×$sin$\frac{π}{4}$=16．

點(diǎn)評 本題主要考查向量的求模運(yùn)算、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用．向量和三角函數(shù)的綜合題是高考的熱點(diǎn)問題，每年必考，要給予充分重視，屬于中檔題．