Question

16．已知圓A：（x+1）²+y²=8，動圓M經(jīng)過點B（1，0），且與圓A相切，O為坐標原點．
（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線l與曲線C相切于點M，且l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點，求證：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{PQ}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出M點軌跡是以A、B為焦點的橢圓，由此能求出動圓圓心M的軌跡C的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+b，將l的方程與橢圓C的方程的聯(lián)立，化簡得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積公式，結(jié)合題意能證明$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{PQ}$為定值-1．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動圓M的半徑為r，依題意，|MA|=2$\sqrt{2}$-r，|MB|=r，
∴|MA|+|MB|=2$\sqrt{2}$＞|AB|=2，
∴M點軌跡是以A、B為焦點的橢圓，
∴動圓圓心M的軌跡C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．…（5分）
證明：（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l：y=kx+b，
將l的方程與橢圓C的方程的聯(lián)立，化簡得：
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
因為l與橢圓C相切于點M，設(shè)M（x₀，y₀），
所以△=8（1+2k²-b²）=0，即b²=1+2k²，
且2x₀=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{4kb}{^{2}}$，解得x₀=-$\frac{2k}$，y₀=-$\frac{2{k}^{2}}$+b=$\frac{1}$，
∴點M的坐標為（-$\frac{2k}$，$\frac{1}$），
又l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點，
∴點P的坐標為（-$\frac{k}$，0），點Q的坐標為（0，b），$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{k}$，b），
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{PQ}$=（-$\frac{2k}$，$\frac{1}$）•（$\frac{k}$，b）=-1．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{PQ}$為定值-1．…（12分）

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查向量的數(shù)量積為定值的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積公式、圓、橢圓等知識點的合理運用．