Question

11．設(shè)函數(shù)D（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x為有理數(shù)}\\{0，x為無理數(shù)}\end{array}\right.$則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． D（x）的值域?yàn)閇0，1]
• B． D（x）是偶函數(shù)
• C． D（x）不是周期函數(shù)
• D． D（x）是單調(diào)函數(shù)

Answer 1

分析 根據(jù)已知函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的定義，函數(shù)周期性的定義及函數(shù)值域，分別判斷四個(gè)答案的真假，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)D（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x為有理數(shù)}\\{0，x為無理數(shù)}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)值域?yàn)閧0，1}，故A不正確；
當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，-x必為有理數(shù)，此時(shí)f（-x）=f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，-x必為無理數(shù)，此時(shí)f（-x）=f（x）=0．故f（x）是偶函數(shù)，即B正確；
對于任意的有理數(shù)T，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，x+T必為有理數(shù)，此時(shí)f（x+T）=f（x）=1；
當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，x+T必為無理數(shù)，此時(shí)f（x+T）=f（x）=0；
即函數(shù)是周期為任意非0有理數(shù)的周期函數(shù)，故C不正確；
D（2）=1，D（3）=1，D（$\sqrt{2}$）=0，D（$\sqrt{3}$）=0．顯然函數(shù)D（x）不是單調(diào)函數(shù)，故D不正確；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)與應(yīng)用，函數(shù)的值域及函數(shù)的性質(zhì)，正確理解新定義是解答的關(guān)鍵．