Question

2．已知函數(shù)$f（x）=x（{\frac{2}{{{2^x}-1}}+k}）$為偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，當(dāng)x∈（0，1]時，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數(shù)的定義，建立方程，即可求k的值；
（2）確定$g（x）=\frac{f（x）}{x}$的解析式，即可求出當(dāng)x∈（0，1]時，g（x）的值域．

解答 解：（1）因?yàn)?f（x）=x（{\frac{2}{{{2^x}-1}}+k}）$為偶函數(shù)，
所以$\frac{2}{{{2^x}-1}}+k=-（{\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}+k}）$恒成立，解得k=1．
（2）$g（x）=\frac{2}{{{2^x}-1}}+1，x∈（{0，1}]⇒{2^x}∈（{1，2}]⇒{2^x}-1∈（{0，1}]$
所以$\frac{2}{{{2^x}-1}}+1∈[{3+∞}）$．

點(diǎn)評 本題考查合適的奇偶性，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．