Question

設(shè)f（x）=

a．2x-1

2x+1

是R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）對x∈R恒成立，解方程求出a的值．
（2）由（1）知f（x）=

2x-1

2x+1

，由y=

2x-1

2x+1

，解出 x的解析式，再把自變量和函數(shù)交換位置，并注明反函數(shù)的定義域（即原函數(shù)的值域）即得反函數(shù)．

解答：解：（1）由題意知f（-x）=-f（x）對x∈R恒成立，即

a•2-x-1

2-x+1

=-

a•2x-1

2x+1

，
即（a-1）（2^x+1）=0，
∴a=1．
（2）由（1）知f（x）=

2x-1

2x+1

，由y=

2x-1

2x+1

，得 2^x=

1+y

1-y

，x=log₂

1+y

1-y

，
∴f^-1（x）=log₂

1+x

1-x

（-1＜x＜1）．

點評：本題考查求一個函數(shù)的反函數(shù)的方法，奇函數(shù)的定義以及指數(shù)式與對數(shù)式的互化．