Question

8．（文科學(xué)生做）已知函數(shù)f（x）=sinx-$\sqrt{3}$cosx．
（1）求f（x）在（0，π）上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（θ）=-$\frac{6}{5}$（0＜θ＜π），求sinθ的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，整體代入求出其單調(diào)增區(qū)間；
（2）將f（θ）=-$\frac{6}{5}$代入（1）中化簡(jiǎn)的函數(shù)里，得到關(guān)于θ的方程，利用0＜θ＜π判斷其取值情況，求出sinθ．

解答 解：由題意得：
（1）f（x）=sinx-$\sqrt{3}$cosx=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
所以當(dāng)$-\frac{π}{2}+2kπ≤$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z），
所以$-\frac{π}{6}+2kπ$≤x$≤\frac{5π}{6}+2kπ$，（k∈Z），
又因?yàn)閤∈（0，π），
所以增區(qū)間為（0，$\frac{5π}{6}$）；
（2）因?yàn)閒（θ）=-$\frac{6}{5}$（0＜θ＜π），
所以由（1）可知，2sin（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{6}{5}$，
所以sin（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
又因?yàn)?＜θ＜π，
所以-$-\frac{π}{3}＜$θ-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
所以cos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
所以sinθ=sin（$θ-\frac{π}{3}+\frac{π}{3}$）=sin（$θ-\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（$θ-\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
所以sinθ=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．

點(diǎn)評(píng) （1）本題考察學(xué)生對(duì)輔助角公式，較易；難點(diǎn)三角函數(shù)單調(diào)性的求解，需要學(xué)生對(duì)整體代入法能熟練掌握；
（2）本題難點(diǎn)及解題關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)造出和差公式形式，需要學(xué)生靈活應(yīng)用公式．