Question

12．為評估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件最為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：

直徑/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合計(jì)
件數(shù)	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值μ=65，標(biāo)準(zhǔn)差=2.2，以頻率值作為概率的估計(jì)值．
（1）為評判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判（p表示相應(yīng)事件的頻率）：①p（μ-σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ-σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙，若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為�。�試判斷設(shè)備M的性能等級．
（2）將直徑小于等于μ-2σ或直徑大于μ+2σ的零件認(rèn)為是次品
（i）從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品個數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望EY；
（ii）從樣本中隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品個數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望EZ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用條件，可得設(shè)備M的數(shù)據(jù)僅滿足一個不等式，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）易知樣本中次品共6件，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06．
（�。┯深}意可知Y～B（2，$\frac{6}{100}$），于是EY=2×$\frac{6}{100}$=$\frac{3}{25}$；
（ⅱ）確定Z的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求出其中次品個數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望EZ．

解答 解：（Ⅰ）P（μ-σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，
因?yàn)樵O(shè)備M的數(shù)據(jù)僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙；…（4分）
（Ⅱ）易知樣本中次品共6件，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06．
（�。┯深}意可知Y～B（2，$\frac{6}{100}$），于是EY=2×$\frac{6}{100}$=$\frac{3}{25}$；…（8分）
（ⅱ）由題意可知Z的分布列為

Z	0	1	2
P	$\frac{{C}_{94}^{2}}{{C}_{100}^{2}}$	$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{94}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$	$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{100}^{2}}$

故EZ=0×$\frac{{C}_{94}^{2}}{{C}_{100}^{2}}$+1×$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{94}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$+2×$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{3}{25}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查概率的計(jì)算，考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)，考查數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．