Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=k•a^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求常數(shù)k的值；
（2）設(shè)a＞1，試判斷函數(shù)y=f（x）在R上的單調(diào)性，并解關(guān)于x的不等式f（x²）+f（2x-1）＜0．

Answer 1

分析 （1）可看出f（x）的定義域?yàn)镽，而f（x）又是奇函數(shù)，從而有f（0）=0，這樣可求出k=1；
（2）f（x）=a^x-a^-x，根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，便可說明f（x₁）＜f（x₂），這便得出f（x）在R上單調(diào)遞增，從而根據(jù)f（x）為奇函數(shù)和增函數(shù)便可由原不等式得到x²＜1-2x，解該不等式便可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）是奇函數(shù)；
∴f（0）=k-1=0；
∴k=1；
（2）由（1），f（x）=a^x-a^-x，設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{a^{x_1}}-{a^{-{x_1}}}）-（{a^{x_2}}-{a^{-{x_2}}}）=（{a^{x_1}}-{a^{x_2}}）（{1+\frac{1}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}}）$；
∵a＞1，x₁＜x₂；
${a^{x_1}}-{a^{x_2}}＜0$，又$1+\frac{1}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}＞0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)；
由f（x²）+f（2x-1）＜0，得f（x²）＜-f（2x-1）；
即f（x²）＜f（1-2x）；
f（x）在R上單調(diào)遞增；
∴x²＜1-2x，即x²+2x-1＜0；
解得$-1-\sqrt{2}＜x＜-1+\sqrt{2}$；
∴原不等式的解為$（-1-\sqrt{2}，-1+\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)，原點(diǎn)處的函數(shù)值為0，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法．