Question

已知

p

=(sinA，cosA)，

q

=(

3

cosA，-cosA)(其中

q

≠

0

)．
（1）若0＜A＜

π

2

，方程

p

•

q

= t-

1

2

（t∈R）有且僅有一解，求t的取值范圍；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別是a，b，c，且a=

3

2

，若

p

∥

q

，求b+c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）依題意可得t=

p

•

q

+

1

2

=sin（2A-

π

6

），根據(jù)-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，t=

p

•

q

+

1

2

 有唯一解，可得t的范圍．
（2）由

p

∥

q

(其中

q

≠

0

) 求得A=

2π

3

．再根據(jù)正弦定理求得 b+c=sinB+sinC=sin(B+

π

3

) (0＜B＜

π

3

)，結(jié)合

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

，可得b+c的取值范圍．

解答： 解：（1）依題意可得t=

p

•

q

+

1

2

=

3

sinAcosA-cos²A=

3

2

sin2A-

1

2

cos2A=sin（2A-

π

6

），
∵A∈(0，

π

2

)，∴-

π

6

＜2x-

π

6

＜

5π

6

．
再根據(jù)t=

p

•

q

+

1

2

 有唯一解，可得 -

1

2

＜t≤

1

2

或t=1．
（2）由

p

∥

q

(其中

q

≠

0

)得

sinA

3 cosA

=-1，即tanA=-

3

，∴A=

2π

3

．
再根據(jù)正弦定理可得2R=

a

sinA

=1，∴b+c=sinB+sinC=sin(B+

π

3

) (0＜B＜

π

3

)，
由

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

，可得

3

2

＜b+c≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦定理，屬于中檔題．