Question

對于給定的大于1的正整數(shù)n，設(shè)x=a₀+a₁n+a₂n²+…+a_nnⁿ，其中a_i∈{0，1，2，…，n-1}，i=1，2，…，n-1，n，且a_n≠0，記滿足條件的所有x的和為A_n．
（1）求A₂
（2）設(shè)A_n=

nn(n-1)

2

•f（n），求f（n）

Answer 1

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,排列組合

分析：（1）當(dāng)n=2時(shí)，x=a₀+2a₁+4a₂，a₀∈{0，1}，a₁∈{0，1}，a₂=1，故滿足條件的x共有4個(gè)，求出它們的和即可；
（2）由分步計(jì)數(shù)原理求出滿足條件的x共有nⁿ（n-1）個(gè)，求出A_n中所有含a_n項(xiàng)的和，化簡即可

解答： 解：（1）當(dāng)n=2時(shí)，x=a₀+2a₁+4a₂，a₀∈{0，1}，a₁∈{0，1}，a₂=1，
故滿足條件的x共有4個(gè)，
分別為：x=0+0+4，x=0+2+4，x=1+0+4，x=1+2+4，
它們的和是22．                               
（2）由題意得，a₀，a₁，a₂，…，a_n-1各有n種取法；a_n有n-1種取法，
由分步計(jì)數(shù)原理可得a₀，a₁，a₂，…，a_n-1的不同取法共有n•n•…n•（n-1）=nⁿ（n-1），
即滿足條件的x共有nⁿ（n-1）個(gè)，
當(dāng)a₀分別取0，1，2，…，n-1時(shí)，a₁，a₂，…，a_n-1各有n種取法，a_n有n-1種取法，
故A_n中所有含a₀項(xiàng)的和為(0+1+2+…+n-1)nn-1(n-1)=

nn(n-1)2

2

；
同理，A_n中所有含a₁項(xiàng)的和為(0+1+2+…+n-1)nn-1(n-1)•n=

nn(n-1)2

2

•n；
A_n中所有含a₂項(xiàng)的和為(0+1+2+…+n-1)nn-1(n-1)•n2=

nn(n-1)2

2

•n2；
A_n中所有含a_n-1項(xiàng)的和為(0+1+2+…+n-1)nn-1(n-1)•nn-1=

nn(n-1)2

2

•nn-1；
當(dāng)a_n分別取i=1，2，…，n-1時(shí)，a₀，a₁，a₂，…，a_n-1各有n種取法，
故A_n中所有含a_n項(xiàng)的和為(1+2+…+n-1)nn•nn=

nn+1(n-1)

2

•nn；
所以A_n=

nn(n-1)2

2

（1+n+n²+…+n^n-1）+

nn+1(n-1)

2

•nⁿ=

nn(n-1)2

2

nn-1

n-1

+

nn+1(n-1)

2

•nⁿ=

nn(n-1)

2

（nⁿ⁺¹+nⁿ-1）
故f（n）=（nⁿ⁺¹+nⁿ-1）

點(diǎn)評：本題考查了分步計(jì)數(shù)原理，以及等比數(shù)列的問題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，知識的應(yīng)用能力，屬于難題