Question

8．在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₃，a₂+a₄，a₅成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁+$\frac{_{2}}{2}$+…+$\frac{_{n}}{n}$=a_n（n∈N^*），{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n-na_n+6≥0成立的正整數(shù)n的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）利用方程法求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出{b_n}的前n項(xiàng)和公式，解不等式即可．

解答 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₃，a₂+a₄，a₅成等差數(shù)列．
∴2（a₂+a₄）=a₃+a₅，
即2（a₂+a₄）=q（a₂+a₄），
∴q=2，
則a_n=a₁q^n-1=2×2^n-1=2ⁿ，
即${a_n}={2^n}$；
（2）∵數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁+$\frac{b_2}{2}+…+\frac{b_n}{n}={a_n}（n∈{N^*}）$，
∴b₁+$\frac{_{2}}{2}$+…+$\frac{_{n}}{n}$+$\frac{_{n+1}}{n+1}$=a_n+1，
兩式相減得$\frac{_{n+1}}{n+1}$=a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
則b_n+1=（n+1）•2ⁿ，即b_n=n•2^n-1，n≥2，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₁=2，不滿(mǎn)足b_n=n•2^n-1，n≥2．
即b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n=1}\\{n•{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．
當(dāng)n=1時(shí)，不等式等價(jià)為S₁-a₁+6=6≥0成立，
當(dāng)n≥2時(shí)，
S_n=2+2•2¹+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1，①
則2S_n=4+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-n•2ⁿ=2ⁿ-2-n•2ⁿ=-2-（n-1）•2ⁿ，
則S_n=2+（n-1）•2ⁿ，
則當(dāng)n≥2時(shí)，不等式S_n-na_n+6≥0等價(jià)為2+（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ+6≥0，
即8-2ⁿ≥0，則2ⁿ≤8，得n≤3，
則n的最大值是3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式的計(jì)算，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義建立方程，以及利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．注意要討論n的取值范圍．