Question

在二項(xiàng)式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求展開式中的有理項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可求出n的值，然后再根據(jù)二項(xiàng)式定理問題得以解決

解答： 解∵∵（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ，
∴T_k+1=

C

k n

•(

x

)n-k•(

1

2 4 x

)k=

C

k n

•2^-k•x4-

3

4

k，
分別令k=0，k=1，k=2，
∴二項(xiàng)展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，

n

2

，

1

8

n（n-1），
∵前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．         
∴2×

n

2

=1+

1

8

n（n-1），解得n=8或n=1（不合題意，舍去）        
（1）因?yàn)閚=8，所以展開式中共9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的系數(shù)最大，
∴T₅=

35

8

x                                  
（2）∵T_k+1═

C

k n

•2^-k•x4-

3

4

k，
當(dāng)4-

3

4

k∈Z時(shí)，T_r+1為有理項(xiàng)，
又0≤k≤8且k∈Z，
∴k=0，4，8符合要求．
故展開式中的有理項(xiàng)有3項(xiàng)，分別是：T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256x2

點(diǎn)評：本題考查了二項(xiàng)式定里，關(guān)鍵是掌握展開式的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題