Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{c^2}{{{x^2}+ax+a}}$，其中a為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)镽時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（x）的定義域?yàn)镽，推出分母不為0，利用判別式求解，即可求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)镽時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)小于0，列出不等式求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 19解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)镽，∴x²+ax+a≠0恒成立，∴△=a²-4a＜0，∴0＜a＜4，即當(dāng)0＜a＜4時(shí)f（x）的定義域?yàn)镽．
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{{x（x+a-2）{e^x}}}{{{{（{x^2}+ax+a）}^2}}}$，令f′（x）≤0，得x（x+a-2）≤0．
由f′（x）=0，得x=0或x=2-a，又∵0＜a＜4，∴0＜a＜2時(shí)，由f′（x）＜0得0＜x＜2-a；
當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）≥0；當(dāng)2＜a＜4時(shí)，由f′（x）＜0得2-a＜x＜0，
即當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2-a）；
當(dāng)2＜a＜4時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（2-a，0）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的定義域的求法，函數(shù)恒成立問(wèn)題的解決方法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．